Question

函数奇偶性的问题

已知定义域在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x)，且f（x）是偶函数，当x属于[0,2]时，f（x）=2x-1，求当x属于[-4,0]时f（x）的表达式

Answer 1

x在[0,2]时f(x)=2x-1,
所以x在[-2,0]时f(x)=f(-x)=-2x-1

f(2+x)=f(2-x)。
f(2+x+2)=f[2-(x+2)]=f(-x)=f(x)
周期为4
在[-4，-2]
f(x)=2x+3
是分段函数
所以
f(x)=2x+3 x∈[-4,-2]
f(x)=-2x-1 x属于[-2,0]

Answer 2

满足f(2+x)=f(2-x） 故周期为4
且f（x）是偶函数
故当x属于[-2，0]时f（x）=-2x-1
因为周期为4 故当x属于[-4，-2]时f（x+4）=2（x+4）-1=2x+7
分段函数 一写就好哈

Answer 3

f(2+x)=f(2-x),即f(2+x)=f[4-(2+x)]可以变形成f(x)=f(4-x),而f(x)是偶函数，即有f(x)=f(-x),所以f(4-x)=f(x-4),故f(x)=f(x-4)也可以变形成f(x+4)=f(x).
x属于[-4,0]分成两段，[-4,-2]和(-2,0],
当x属于[-4,-2]时，x+4属于[0,2],而在[0,2]区间上，f(x)=2x-1,所以当x属于[-4,-2]时，f(x)=f(x+4)=2(x+4)-1=2x+7
而当x属于(-2,0]时，-x属于[0,2),故f(x)=f(-x)=2(-x)-1=-2x-1

Answer 4

可求出函数关于x=2对称，又因为是偶函数即关于x=0对称，那么根据已知条件就可画出函数图像了