Question

大学数学证明一个数列的极限 ε的取值有什么技巧

Answer 1

楼上网友的回答，概念对了一半，错了一半！
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1、ε 确实是任意给的，但不是确定的！
ε 可以随时更改，可以改得越来越小，但 ε 不是无穷小；
ε 仅仅是一个象征性的很小的、可以任意更改的正数。

2、根据 ε ，计算出一个 N，这个 N 也不是固定的：
A、N 的取值跟 ε 紧密相关，或者说 N 由 ε 所确定；
B、但是，在具体证明时，为了证明过程的顺利进行，
可以取不同的 N。也就是说，根据 ε，解不等式，
原本可以解出一个 N，假设为 N₁，可能解题困难，
我们可以放大这个 N，变大成为 N₂，N₂ > N₁，为了
严格证明，我们取 N = N₂。
也可能写成 N = max{N₁, N₂, N₃, N₄, 、、、}。。

然后，当 n > N 时，由极限计算式算出的值，跟极限值之差，
就小于 ε，证明就结束了。

3、极限证明的过程，其实就是：
A、一个争吵的过程；一个无穷列举理论化的过程；
B、一个无止尽耍赖皮的过程，ε 可以任意给，也就是可以更改，
根据 ε 找到 N 的过程，就是理论化的过程。无论怎样更改 ε，
无论怎样耍无赖，只要 ε 给得出，N 就找得到。
这个过程就是理论化的过程，就是tendency的过程。
只是我们平时的教学，过于花拳绣腿，大大咧咧地忽视了tendency，
仅仅着重于极限的限limiting、limitation。
如果认识不到这点，到头来，是不可能获得真正的感悟的。
说过极限证明理论的人，每年千千万万，绝大多数，都只是凑凑热闹而已。
他们永远悟不出真谛，包括绝大多数数学教师，都是人云亦云，不知所云。

Answer 2

ε应是任意给定的，取定ε后再选取适当的N

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