Question

轨迹方程式

一动点P与两定点（2，3）和（2，-3）距离的和恒为8，求P的轨迹方程式。
可答案是 16x^2 + 7y^2 - 64x -48=0

Answer 1

由椭圆定义可知，点P的轨迹是以两定点（2，3）和（2，-3）为焦点的椭圆，
且椭圆的中心是以两定点（2，3）和（2，-3）为端点的线段的中点，其坐标为（2,0）
故可设椭圆方程为(x-2)²/b²+y²/a²=1，(a>b>0)，焦距为2c，
由题意，椭圆的长轴长2a=8，焦距2c=6，
∴a=4，c=3，
代入b²=a²-c²，得b=√7
因此，椭圆方程为(x-2)²/7+y²/16=1，即16x²+7y²-64x-48=0.

Answer 2

有椭圆的性质，知道P的轨迹必定为椭圆
设F1(2,-3),F2(2,3)，易知这时椭圆的两个焦点，所以他们的中点是椭圆中心
由于中点公式，中心O（2，0）设方程：
(x-2)^2/a^2 +y^2/b^2=1
|PF1|+|PF2|=8=2a
a=4由于|F1F2|=2倍焦距=2c=2根号（b^2-a^2）=6
解得c=3,b=5
所以(x-2)^2/16 +y^2/25=1