Question

定义在R上的单调函数f（x）满足任意X,Y均有f（x+y）=f(x)+f(y)且f(1)=1 解不等式：f(x-x^2+2)+f(2x)+2<0

Answer 1

f(x+0)=f(x)+f(0)
=>f(0)=0
f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
=>f(-x)=-f(x)

f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2
f(2)>f(1)
因此f(x)单调递增

f(x-x^2+2)+f(2x)+2
=f(x-x^2+2+2x)+f(2)
=f(3x-x^2+4)
=-f(x^2-3x-4)

f(x-x^2+2)+f(2x)+2<0
=>-f(x^2-3x-4)<0
=>f(x^2-3x-4)>0
因为f(x)递增，f(0)>0

=>x^2-3x-4>0
=>x>4或x<-1

Answer 2

解：分别令x=y=1及x=1，y=0 可得：f（2）=2 f（0）=0 又由f（x）为单调函数，故f（x）单调递增（f（2）＞f（1）＞f（0））
f(x-x^2+2)+f(2x)+2<0
＝＞ f(x-x^2+2)+f(2x)+f（2）<f（0）
＝＞ f(x-x^2+2+2x)+f(2)<f（0）
＝＞ f(x-x^2+2+2x+2)<f（0）
＝＞ x-x^2+2+2x+2＜0
＝＞ x＞4或x＜-1

Answer 3

f(0+0)=2f(0)
f(0)=0
f(x)单调。f(1)>0
x>0时,f(x)>0.x<0时，f(x)<0.
原不等式可化为：
f(x-x^2+2+2x+2)<0
-x^2+3x+4<0
x>4或x<-1