Question

在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、 Y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边

在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、
Y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.
（Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
（Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

Answer 1

解：
作点 关于 轴的对称点 ，在 边上截取 ，
连接 与 轴交于点 ，在 上截取 .
∵ GC‖EF， ，∴ 四边形 为平行四边形，有 .
又 、 的长为定值，∴ 此时得到的点 、 使四边形 的周长最小.
∵ OE‖BC，∴ Rt△ ∽Rt△ , ∴ .
∴ .
∴ .
∴ 点 的坐标为（ ，0），点 的坐标为（ ，0）

Answer 2

⑴如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE．
若在边OA上任取点E'与点E不重合、，连接CE'、DE'、D'E'

由DE'+CE'=D'E'+CE'＞CD'=D'E+CE=DE+CE，
可知△CDE的周长最小．
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，
∴BC=3，D'O=DO=2，D'B=6，
∵OE∥BC，
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BC，

如图，作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=2，连接D'G与x轴交于点E，在EA上截取EF=2，
∵GC∥EF，GC=EF，
∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF，
又DC、EF的长为定值，
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小．
∵OE∥BC，
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BG，