Question

已知f(x)是定义在实数集R上的函数，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(2)=1-根号3,则f(2010)等于多少

还有一题，已知f(x)=（1/3）x^3-x^2(k+1)/2,g(x)=1/3-kx,且f(x)在(2,正无穷)上为增函数。求实数K的取值，(2)若函数f(x)与g(x)的图像有三个不同的交点求实数K的取值范围.

Answer 1

二楼的解答完全正确，问题是一般人看不太懂，我在这里细化一下，能使楼主看明白
∵f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(2)= 1-√3
f(x+2)=(f(x)+1)/(1-f(x))
f(x+4)=f(x+2+2)= (f(x+2)+1)/(1-f(x+2))
=[1+(f(x)+1)/(1-f(x))]/[1-(f(x)+1)/(1-f(x))]
=-1/f(x)
同理可求
f(x+6)=(f(x)-1)/(f(x)+1)
f(x+8)=f(x)
即周期为8
f(2010）=f(2+2008)=f(2+8*251)=f(2)=1-√3

2．∵f(x)=（1/3）x^3-x^2(k+1)/2
f'(x)=x^2-(k+1)x=x(x-k-1)
又f(x)在(2,+∞)上为增函数
则f'(2)=2(2-k-1)>=0==>k<=1

∵g(x)=1/3-kx
设h(x)=f(x)-g(x)=1/3x^3-x^2(k+1)/2-1/3+kx=1/3x^3-x^2(k+1)/2+kx-1/3
令h'(x)=x^2-(k+1)x+k=0，解得x1=1，x2=k
H”(x)=2x-k-1, H”(1)=2-k-1, H”(k)=k-1
h(1)=1/3-(k+1)/2+k-1/3=(k-1)/2
h(k)=1/3k^3-k^2(k+1)/2+k^2-1/3=-k^3/6+k^2/2-1/3
当k<1时，函数h(x)在x1处取极小值，在x2处取极大值；
h(1)=(k-1)/2<0==>k<1
h(k)=-k^3/6+k^2/2-1/3>0
k^3-3k^2+2=(k-1)(k^2-2k-2)<0==>
解得k<1-√3或1<k<1+√3
∴k<1-√3
当k>1时，函数h(x)在x1处取极大值，在x2处取极小值；
h(1)=(k-1)/2>0==>k>1
h(k)=-k^3/6+k^2/2-1/3<0
k^3-3k^2+2=(k-1)(k^2-2k-2)>0==>
解得1-√3<k<1或k>1+√3
∴k>1+√3
综上，函数f(x)与g(x)的图像有三个不同的交点，必须满足 k<1-√3或者k>1+√3

补充：如何解k^3-3k^2+2=(k-1)(k^2-2k-2)<0
设f(x)= x^3-3x^2+2, 令f’(x)=3x^2-6x＝0解得x1=0,x2=2
F”(x)=6x-6, F”(0)=-6<0, F”(2)=6>0
∴f(x)在x1=0处取极大值，在x2=2处取极小值
∴解得k<1-√3或1<k<1+√3

Answer 2

f(x+2)=(f(x)+1)/(1-f(x))
f(x+4)=[1+(f(x)+1)/(1-f(x))]/[1-(f(x)+1)/(1-f(x))]
=-1/f(x)
同理
f(x+6)=(f(x)-1)/(f(x)+1)
f(x+8)=f(x)
即周期为8
f(2010）=f(2+2008)=f(2+8*251)=f(2)=1-√3

2 f'(x)=x^2-(k+1)x=x(x-k-1) 在x>2时恒大于0
即x-k-1在x>2时恒大于0
2-k-1>=0
k<=1
设t(x)=f(x)-g(x)=1/3x^3-x^2(k+1)/2-1/3+kx=1/3x^3-x^2(k+1)/2+kx-1/3=0有3个解
t'(x)=x^2-(k+1)x+k=0
x1=1
x2=k
即x=1,k时存在极值
1)k>1时.t(1)>0,t(k)<0
解得k>1+√3
2)k<1时，t(k)>0,t(1)<0
k<1-√3
所以 k>1+√3或者k<1-√3

Answer 3

1.f(x+2)=[1+f(x)]/[1-f(x)],
代入到f(x+4)[1-f(x+2)]=1+f(x+2),
得到f(x+4)=-1/f(x)
因此f(x+8)=f(x)
所以f(2010)=f(2)=1-根号3。
2.
(1)
f'(x)=x^2-(k+1)x=x(x-(k+1))在(2,正无穷)上为非负
所以k+1<=2
k<=1
(2)
f(x)-g(x)=（1/3）x^3-x^2(k+1)/2-1/3+kx与x轴有3个交点
求导，得x^2-(k+1)x+k=(x-k)(x-1)
若想有3个交点，在两个极点1，k就得有一个函数值大于0，一个小于0，
讨论比较麻烦，你自己来吧

Answer 4

f(x+2)=[1+f(x)]/[1-f(x)]
故 f(x+4)=[1+f(x+2)]/[1-f(x+2)]=-1/f(x)
可得 f(x+8)=-1/f(x+4)=f(x)
所以 f(2010)=f(2002)=......=f(2)=1-√3

补充问题解答：
对f(x)求导 f’（x）=x²-x(k+1)在(2,正无穷)上为增函数，f'(x)=[x-(k+1)/2]²-(k+1)²/4
（1）(k+1/2)<=2时即k<=3时，(2,正无穷)上使f'(x)>f'(2)>0得出k<=1
联立得k<=1
（2）k>3时f'（x）min=f’（k+1/2）=-(K+1)²/4当且仅当k=-1成立与k>3矛盾

由（1）（2） 故k<=1

第二问：设F（x）=f(x)-g(x)
则F'（x）=x²-x(k+1)+k=(x-k)（x-1）
擦好难算啊。
要得到3个交点必须F(1)*F（K）<0.联立答案自己算