Question

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一。某单位用木料制作框架，框架的下部是长为x.宽为y(单位：m)的矩形。上部是等腰直角三角形。要求框架围成的总面积8cm^2.问x，y分别为多少（精确到0.001m)时用料最省？
二。设f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，g(x)的图像与f(x)的图像关于直线x=1对称，而当x属于[2，3]时，g(x)=-x^2+4x-4. (1)求f(x)的解析式；（2）对于任意的x1,x2属于[0，1]且x1不等于x2，求证|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|;(3)对于任意的x1,x2属于[0，1]且x1不等于x2，求证|f(x2)-f(x1)|<=1.

Answer 1

1、
总面积=x^2/4+xy=8
y=8/x-x/4
用料=2x+2y+2*x*√2/2
=2(√2+1)x+2y
=(2+√2)x+2(8/x-x/4)
=(√2+3/2)x+16/x
所以,
(√2+3/2)x=16/x
x^2=32/(√2+1)^2
x=4√2/(√2+1)=4√2(√2-1)=8-4√2
y=8/x-x/4=8/(8-4√2)-(8-4√2)/4
=2/(2-√2)-(2-√2)
=(2+√2)-(2-√2)
=2√2
即:x=(8-4√2)米,y=2√2米 时用料最省

2、
（设点A（x1 ,y1),B(x2 ,y2)关于x=1对称，则x1+x2=2 ,y1=y2)
1)因为g(x)与f(x)的图像关于直线x=1对称,当x在【2，3】时，g(x)=-x^2+4x-4
所以f(x)在【-1 ，0】上时，f(x)=-(2-x)^2+4(2-x)-4=-x^2
f(x)是定义在【-1,1】上的奇函数,所以f(x)=-x^2 ([-1,0]) ;x^2 ([0 ,1])
2) |f(x2)-f(x1)|= |x1^2-x2^2|= |x1+x2| * |x1-x2|<2｜x2-x1｜ (因为x1不=x2,所以不取=）