Question

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已知：函数f(x)=ax的平方＋(b-8)x-a-ab,当x属于（-3,2)时，f(x)>0; 当x属于(-无穷，-3)并与(2,+无穷)时，f(x)<0 (1)求a,b的值 (2)过点A(0，30)作曲线y=f(x)的切线，求切线方程

Answer 1

(1)由题意，函数f(x)=ax²＋(b-8)x-a-ab的两零点为-3和2，
∴-(b-8)/a=-1，(-a-ab)/a=-6，
解得，a=-3，b=5，
f(x)=-3x²-3x+18.
(2)法一：设切线斜率为k，
则切线方程为y=kx+30，
代入y=-3x²-3x+18，
得x的一元二次方程，令判断式=0，
可得k=15或9
∴切线方程为15x-y+30=0或9x-y+30=0
法二：
y=-3x²-3x+18，y′=-6x-3
设切点坐标为（x。，-3x。²-3x。+18）
则切线方程为y-(-3x。²-3x。+18）=(-6x。-3)(x-x。)
由切线过点A（0，30），
得30-(-3x。²-3x。+18）=(-6x。-3)( -x。)
解得，x。=±2，
∴切线方程为15x-y+30=0或9x-y+30=0.

Answer 2

1.f(x)=a(x+3)(x-2)=a(x^2+x-6)
b-8=a
a+b=6
a=-1,b=7
2.f'(x)=-2x-1
f'(0)=-1
y-30=-x

Answer 3

解：因为当x属于（-3,2)时，f(x)>0; 当x属于(-无穷，-3)并与(2,+无穷)时，f(x)<0
所以：函数的对称轴方程为x=(8-b)/2a=(2-3)/2=-1/2,即有 b-8=a；
方程ax²+（b-8)x-a-ab=0的两个根是 x1=-3, x2=2,由根与系数的关系有：6=b+1,即b=5
所以：a=5-8=-3
所以：a=-3, b=5.
函数为：f(x)=-3x²-3x-18

设切线方程为y=kx+30
则：kx+30=-3x²-3x-18,即3x²+(3+k)x+48=0.
相切，曲线与直线只有1个交点，
所以：（3+k)²=24²
解得：k1=-27, k2=-21
所以：切线方程为y=-27x+30, 或y=-21x+30