Question

一道数学题 高分悬赏！

若2sin^2B/2+2sin^2C/2=1,是判断△ABC的形状！

Answer 1

解：∵2sin²(B/2)+2sin²(C/2)=1
∴[2sin²(B/2)-1]+[2sin²(C/2)-1]=1-2
即 (-cosB)+(-cosC)=-1
∴ cosB+cosC=1
∴ 2cos(B/2+C/2)*cos(B/2-C/2)=1
即 2sin(A/2)*cos(B/2-C/2)=1 ①
∵ cosB+cosC=1
∴ cosB-cos(A+B)=1
∴ -2sin(B+A/2)*sin(-A/2)=1
∴ 2sin(B+A/2)*sin(A/2)=1 ②
由①②，得
cos(B/2-C/2)=sin(B+A/2)
则 (B/2-C/2)+(B+A/2)=π/2 或(B/2-C/2)-(B+A/2)=π/2
整理，得
B=C 或B+A+C=π
∴ 2cosB=1
∴cosB=1/2
B=π/3
∴C=B=π/3
A=π-(B+C)=π/3
即 A=B=C
因此，△ABC为等边三角形