Question

急！已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b为实数,且a≠0),x∈R,函数f(x)的最小值为f(-1)=0

已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b为实数,且a≠0),x∈R,函数f(x)的最小值为f(-1)=0 (1)求f（x）的解析式（2）若g（x）=f（x）-1在区间【m，n】（m＜n）上的值域也为【m，n】，求m，n的值。

Answer 1

解：

(1)

函数有最小值，且定义域是R，则a>0

f(-1)=a-b+1=0,即b=a+1

对称轴是x=-b/(2a)=-1，即b=2a

由此两式，解得

a=1，b=2

∴f(x)=x²+2x+1

(2)

g(x)=f(x)-1=x²+2x

根据题意，若对称轴x=-1≤m，则函数在此区间递增，则

f(m)=m,f(n)=n

解得m=-1,n=0

若对称轴x=-1≥n，则此函数在此区间递减，则

f(m)=n,f(n)=m，无解，※函数的最小值是-1，n若小于等于-1，必定只能等于-1，m<n，则m<-1，函数g(x)的纵坐标最小是-1，所以无解，(m,n)和(n,m)关于y=x对称，g(x)上不存在这样的对称点

若对称轴x=-1在(m,n)内，则

g(x)最小值为-1，即m=-1，不成立，舍去

即m=-1,n=0

谢谢

Answer 2

解：（1）f(x)=ax^2+bx+1=a(x+b/2a)^2+1-b^2/4a
因为 函数f(x)的存在最小值为f(-1)=0，
则，f(x)开口向上，a>0,
对称轴x=-b/2a=-1,1-b^2/4a=0
解得，a=1,b=2
所以，f(x)=x^2+2x+1.
(2)g(x)=f（x）-1=x^2+2x=(x+1)^2-1
若m>=-1,则g(x)在[m,n]上递增，即值域为[f(m),f(n)]
所以，m^2+2m=m,n^2+2n=n，得m=-1,n=0,（m=和n=-1舍去） （n>m）
若n<=-1,则g(x)在[m,n]上递减，即值域为[f(n),f(m)]
而f(x)的最小值为-1，所以n只能等于-1， m=n^2+2n=-1,得m=n=-1,不合题意，无解，
综上，m=-1,n=0.

Answer 3

⑴f(-1)=a-b+1=0 且，-b/2a=-1 则a=1 b=2 ∴f(x)=x²＋2x＋1
⑵g（x）=f（x）-1= x²＋2x
g（m）=m²＋2m=m ∴ m=0或m=-1
g（n）=n²＋2n=n ∴n=0或n=-1