Question

一道高一数学题（请进！请详细说明！谢谢！）

在△ABC中，若a(cosC/2)^2+c(cosA/2)^2=3/2b，那么a、b、c的关系是_________

Answer 1

由倍角公式：cos²(A/2)=(1+cosA)/2，cos²(C/2)=(1+cosC)/2，所以
acos²(C/2)+ccos²(A/2)
=a(1+cosC)/2+c(1+cosA)/2
=(acosC+ccosA)/2+(a+c)/2 (由余弦定理)
=[a*(a²+b²-c²)/(2ab)+c*(b²+c²-a²)/(2bc)]/2+(a+c)/2
=[(a²+b²-c²)/(2b)+(b²+c²-a²)/(2b)]/2+(a+c)/2
=[(2b²)/(2b)]/2+(a+c)/2
=(a+b+c)/2

所以由题中条件，(a+b+c)/2=3b/2，因此有 a+c=2b.