Question

试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx^2+(r+2)x+3r-2=0有根且只有整数根

Answer 1

当r=0, 2x-2=0, x=1, 方程只有整数根

当r不等于0
x^2+(1 +(2/r))x+(3-(2/r))=0
两根和=-(1+(2/r))=整数
所以：2/r为整数
设n=2/r=整数
x^2+(1+n)x+(3-n)=0
n=(x^2+x+3)/(1-x)
=-x-2+[5/(1-x)]
因x,n都是整数，只能1-x=+ -1, x=0,或x=2, 则n=3,或n=-9
或者只能1-x=+ -5, x=-4,或x=6, 则n=3,或n=-9

所以，只能有n=3或-9
所以：r=2/3,或-2/9,带入方程，满足：有根且只有整数根

综合以上：
r=0, 或2/3, 或-2/9

Answer 2

r=0时，方程变为一元一次方程2x-2=0 x=1，方程仅有整数根。
r不等于0时，
rx^2+(r+2)x+3r+2=0
只有整数根。则两根之和，两根之积均为整数。
-(r+2)/r=-1+2/r为整数，(3r+2)/r=3+2/r为整数，r只能是2,1,-1,-2
有实根，判别式≥0
[-(r+2)]^2-4r(3r+2)
=-11r^2-4r+4≥0
2,1,-1,2分别代入，判别式均<0,无实根。

r=0，仅有一个解。