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解:分享一种解法,利用伽玛函数【Γ(x)】求解。
∵X~Exp(0.5),∴f(x)=0.5e^(-0.5x),x∈[0,∞)。再设x=2t,则dx=2dt,
∴E(√x)=∫(0,∞)√xf(x)dx=0.5∫(0,∞)√xe^(-0.5x)dx=(√2)∫(0,∞)√te^(-t)dt=(√2)∫(0,∞)t^(3/2-1)e^(-t)dt。
按照Γ(x)的定义,Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)e^(-t)dt(x>0),且Γ(1+x)=xΓ(x),Γ(1/2)=√π,
∴E(√x)=(√2)Γ(3/2)=(√2/2)Γ(1/2)=(1/2)√(2π)。
供参考。
∵X~Exp(0.5),∴f(x)=0.5e^(-0.5x),x∈[0,∞)。再设x=2t,则dx=2dt,
∴E(√x)=∫(0,∞)√xf(x)dx=0.5∫(0,∞)√xe^(-0.5x)dx=(√2)∫(0,∞)√te^(-t)dt=(√2)∫(0,∞)t^(3/2-1)e^(-t)dt。
按照Γ(x)的定义,Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)e^(-t)dt(x>0),且Γ(1+x)=xΓ(x),Γ(1/2)=√π,
∴E(√x)=(√2)Γ(3/2)=(√2/2)Γ(1/2)=(1/2)√(2π)。
供参考。
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