Question

数学问题。。

a+b+c=1
怎么证明1/a+1/b+1/c 大于等于 9？
谢~
哦~对不起啊~
a,b,c 大于0

Answer 1

应该是a b c 都是正数吧
1/a+1/b+1/c
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1(a+c)/b+1(a+b)/c
=3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a （由于b/a+a/b>=2，c/a+a/c>=2，c/b+b/c>=2）
>=3+2+2+2
=9

Answer 2

缺条件吧 1 -1 1不就不行了吗？

Answer 3

方程还有个条件：a>0,b>0,c>0

1/a+1/b+1/c>=3(1/(abc))^(1/3)
=9/{3(abc)^(1/3)}
>=9/(a+b+c)
=9

Answer 4

1/a+1/b+1/c （用a+b+c替代分子1）
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1+(a+c)/b+1+(a+b)/c
=3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a
=3+（b/c+c/b）+（a/c+c/a）+（a/b+b/a）
=3+（b²+c²)/bc+(a²+c²)/ac+(a²+b²)/ab
因为(a-c)²>=0 即a²+c²-2ac>=0所以a²+c²>=2ac
所以(a²+c²)/ac>=2
同理可得+（b²+c²)/bc>=2 (a²+b²)/ab>=2
所以1/a+1/b+1/c
=3+（b²+c²)/bc+(a²+c²)/ac+(a²+b²)/ab
>=3+2+2+2
>=9