Question

已知0<α<π/2，0<β<π/2，且sin(α+β)=2sinα，求证：α<β

Answer 1

0＜α＜π/2，0＜β＜π/2
0＜α+β＜π
0＜sin(α+β)＜1
0＜2sinα＜1
0＜sinα＜1/2
0＜α＜π/6
设0＜β≤α＜π/6，
则0＜β+α＜π/3
因sin(α+β)在0＜β+α＜π/3是递增
所以sin(α+β)＜sin(2α)
所以2sinα＜sin(2α)
2sinα＜2sinαcosα
因sinα＞0
所以1＜cosα
矛盾，
所以0＜β≤α＜π/6不成立，
则α＜β。

Answer 2

sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα=2sinα
因为cosβ<1 所以sinαcosβ<sinα
又因为sinαcosβ+sinβcosα=2sinα
所以sinβcosα>sinα
因为cosα<1 所以sinβ>sinα
0<α<π/2，0<β<π/2所以α<β
希望解释的够清楚～