Question

向量m=(cosa,sina)和n=（根号2-sina,cosa)，a为（π，2π），若丨m+n丨=8√2/5求cos（a/2+π/8）

Answer 1

m+n＝（根号2-sina+cosa，cosa+sina）
丨m+n丨=8√2/5两边平方得
（根号2-sina+cosa）^2+(cosa+sina)^2=128/25
化简得2+1+2√2（cosa-sina）-2sinacosa+1+2sinacosa=128/25
即2√2（cosa-sina）＝28/25
cosa-sina＝7√2/25＝√2sin（a+3π/4）＝√2cos（a+π/4）
所以cos（a+π/4）＝7/25

cos（a+π/4）＝cos^2（a/2+π/8）-sin^2（a/2+π/8)
=2cos^2（a/2+π/8）-1＝7/25

所以cos^2（a/2+π/8）＝16/25
cos（a/2+π/8）根据a范围所以是负值
所以cos（a/2+π/8）＝-4/5
希望解释的清楚～

Answer 2

m²=cos²a+sin²a=1
n²=(√2-sina)²+cos²a=3-2√2sina
∴(m+n)²=m²+n²+2mn
=1+3-2√2sina+2[cosa(√2-sina)+sinacosa]
=4-2√2sina+2√2cosa
=4(√2/2cosa-√2/2sina)+4
=4cos(a+π/4)+4
=4[cos2(a/2+π/8)+1]
=4*2cos²(a/2+π/8)
=8cos²(a/2+π/8)=(8√2/5)²=128/25
∵a∈(π,2π)
∴a/2+π/8∈(5π/8,,9π/8)
∴cos(a/2+π/8)=-4/5

Answer 3

将丨m+n丨=8√2 /5得，m^2+2*m*m*n+n^2=128/25
即1+2(√2cosa-sinacosa+sinacosa)+2-2√2sina+1=128/25
即2√2（cosa-sina）=28/25即cos(a+π/4)=7/25
即1-2*[sin(a/2+π/8)]^2=7/25
即[sin(a/2+π/8)]^2=9/25
又π<a<2π,则5π/4<a+π/4<9π/4
又cos(a+π/4)=9/25>0可知3π/2<a+π/4<5π/2
故3π/2<a+π/4<9π/4，3π/4<a/2+π/8<9π/8
1），
sin(a/2+π/8）=3/5（由区间可知（0,√2/2））
此时cos（a/2+π/8）=-4/5
2）当π=<a+π/4<9π/8时，
sin(a/2+π/8）=-3/5（由区间可知（-1/2，0），sin9π/8>-1/2）
故sin(a/2+π/8）=-3/5不成立
所以只有cos（a/2+π/8）=-4/5