数学竞赛题
如图,在△ABC中AB>AC,AD⊥BC于D,P是AD上任意一点,求证PB-PC>AB-AC...
如图,在△ABC中AB>AC,AD⊥BC于D,P是AD上任意一点,求证 PB-PC>AB-AC
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解：由勾股定理知，
BD²+DP²=BP²(1)
BD²+AD²=AB²(2)
(2)-(1)得，
AD²-DP²=AB²-BP²
同理可得，
AD²-DP²=AC²-PC²
∴AB²-BP²=AC²-PC²
即：AB²-AC²=BP²-PC²
∴(AB+AC)(AB-AC)=(PB+PC)(PB-PC)
又∵ (AB+AC）＞ (PB+PC)
且AB＞AC,PB＞PC∴AB-AC＞ 0 ， PB-PC＞0
∴PB-PC＞AB-AC
BD²+DP²=BP²(1)
BD²+AD²=AB²(2)
(2)-(1)得，
AD²-DP²=AB²-BP²
同理可得，
AD²-DP²=AC²-PC²
∴AB²-BP²=AC²-PC²
即：AB²-AC²=BP²-PC²
∴(AB+AC)(AB-AC)=(PB+PC)(PB-PC)
又∵ (AB+AC）＞ (PB+PC)
且AB＞AC,PB＞PC∴AB-AC＞ 0 ， PB-PC＞0
∴PB-PC＞AB-AC
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AB的平方-AC的平方=PB的平方-PC的平方
PB+PC<AB+AC (由AB>PB,AC>PC)
所以PB-PC>AB-AC
所以得证.
PB+PC<AB+AC (由AB>PB,AC>PC)
所以PB-PC>AB-AC
所以得证.
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