几道数学难题的详细过程，求高手
2、平面上4个点，两两间最大距离为M,最小距离为m，证明M/m≥根号2
3、平面上共有1994个点，其中有1000个红点，其余为蓝点，且任意3点不共线，证明：此平面存在一条直线L,它的两侧各有500个红点及497个蓝点
4、有一个10X10的方格表，在表中任选9个方格涂黑，然后再逐步将凡是与两个或两个以上的黑格相邻的方格涂黑，证明：无论怎样选择最初的9个方格，都不能按这样的方法将所有方格全部涂黑。
好的会追加
啊？！原来已经有人问过了啊！
能否将第三题适当简化
再来一道
5、设8X8的方格表，任意填入64个非负数，允许从表中取一个3X3或4X4的子表，并把子表中9个或16个数都加1，这叫一次操作，问能否经过有限次操作把64个数变成10的倍数
6、见图 展开
PS:楼主你这几十分真不好拿
1、同一楼
2、
1.证：分两种情况讨论：
（1）四点的凸包为凸四边形(如图1)A,B,C,D四个角中一定有一角>90（因为A,B,C,D和为360，由抽屉原理就知道了），不妨设为A，在⊿ABC中a^2>b^2+c^2,
不妨设b<c,则a^2>2b^2,a>√2*b，命题成立。
（2）四点凸包为三角形。仿上，考虑中间那三个角，三个小三角形中必有一个钝角三角形（如图2），命题得证。
3、先假设这个平面中有一条直线将它们的个数平分，使两边数量相同，即各有997个。
设其中一边有N个红子。
那么另一边有1000-N个红子。
而第一边有997-N个蓝子。
“它的两侧各有500个红点”也就是N=1000-N N=500
而蓝子就是997-N=497个
也就是说只要将总子数分成两半后，旋转这条直线，使其中一边有500个红子
因为“且任意3点都不共线”所以肯定有一条直线可以不交与任何点而平分子。
当一边红子有500个，那么这边的蓝子就有497（肯定），那么另一边也一定有500个红子，497个蓝子。
4、涂黑9个方格，然后再逐步将凡是与两个或两个以上的黑格相邻的方格涂黑，
这样开始时选择的方格就必须在一个对角线上，这样最多涂黑9*9=81个
最后剩下一行一列肯定不能涂黑。
========================
分析 先试验一下，在上图的方格表中选9格涂黑，然后按给定法则涂黑另一些格，直到如图，已无法再将其余的方格涂黑．如果改变最初9格的位置，虽然最后涂黑的部分会不同，但都不能将所有方格全部涂黑．为了证明这一结论，如果将最初95格的不同位置一一列举出来，再逐个证明，当然也是可以的（这种方法叫枚举法），不过过于繁琐．因此，应该在试验中寻求规律，不被表面现象迷惑．
证明：考虑涂黑过程中黑色区域的周界总长度．设小方格的边长为1，则开始有9个黑格，黑色区域总长度不大于36．按照题设的涂黑法则，每格在涂黑前后，黑色区域的周界不会变长（此方格至少有两边是原来黑色区域的周界，当此格涂黑后，这两边已不再是边界，而另两边可能成为边界）．如果能将所有方格都涂黑，那么黑色边界的总长度应为40，由以上分析，这是不可能的，因此，无论怎样选择最初的9个方格，都不可能按照题设的法则将全部方格涂黑．
5、不可能
首先把8*8的方格表中, 第1,2,4,5,7,8六列涂成白色, 第3,6列涂黑. 在8*8方格表中任意填入64个正
整数. 记S为所有白色格子中的数字之和. 则每个3*3子方格中, 白色格子必然恰有6个, 而每个4*4子方格
中, 白色格子只能是4个或者8个. 所以, 每一次操作只能使S增加4, 或者6, 或者8. 无论如何, 如能使S
增加一个偶数. 所以只要使初始时S为奇数, 则不可能经过有限次操作使每一个格子为2的倍数, 更不用说
10的倍数.
反例容易给出. 比如第一格填1, 其余全部填0.
6、可能
为方便把3*3格子按手机键盘编号. 令A=第1,3,7,9格之乘积, B=第2,4,6,8格之乘积, C=第5格(中央). 变动后为A', B', C', 则 A'= B的平方, B'=A的平方*C的四次方, C'=B
所以只要变动过>=1次, A, B必变成1; 只要变动过>2次, 则A, B, C都变成1.
令[ij]为第i,j两格之乘积, [ij]'则为变动后的[ij], 则
[19]'=[24]*[68]=B
[37]'=[26]*[48]=B
[28]'=[13]*[79]=A
[46]'=[17]*[39]=A.
由此可知, 在3*3格子中任意填写+1,-1, 在经过>=3次变动后, 有如下事实:
(i)中央格恒等于1.
(ii)关于中央格对称的两格相乘恒等于1, 即[19]=[37]=[28]=[46]=1.
现在考虑[17]. 由于[17]'=[24]*[48]=[28]乘以第4格的平方=[28], 因此在>=4次变动后, 必有[17]恒等於1, 也就是第1格与第7格同号. 又由[19]=[37]=1, 可知1,9,3,7四格都同号. 因此在>=5次变动后, 2,4,6,8 四格都恒等于1, 在>=6次变动后, 九个数都变成1了.
1。不能
反证法：若可以，则需要10+10+2共22种数值
而本身从1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10到3+3+……3=30只有21种数值
这不可能
2.反证法：
设这四个点为ABCD
若M/m<根号2
不妨设A到B距离为根号2，则AC,AD,BC,BD,CD均在1到根号2之间
以A,B为圆心1为半径做圆，则C,D在两圆之外。
再 以A,B为圆心根2为半径做圆，则CD在这两圆之内。
如图绿色部分
而绿色部分中任取两个点，他们的距离都＜1
与假设CD>1矛盾。
故不成立
3，4见上
又 第四题
记1*1的正方形为单位正方形
又记这样的边为“好边”：与这条边相邻的单位正方形有且仅有一个为黑色的
引理：以后每涂黑一个单位正方形，好边的数量不变或变少
（引理不会证的话请补充提问）
一开始有9个黑正方形，即至多4*9=36条好边
反设最后可以变为全黑
则最后有4*10=40条好边
又由引理知最后好边数量不会超过36，故矛盾
注：好像第三题最佳答案就是怎么证的
