Question

函数f(x)=(x-a)(bx+2a)(常数a,b∈R）是偶函数，且它的值域为[-10，∞）,则该函数的解析式f(x)=___________

Answer 1

解：f(x)是偶函数，则，f(x)=f(-x)
而f(x)=(x-a)(bx+2a)=bx^2+(2a-ab)x-2a^2
所以bx^2+(2a-ab)x-2a^2=b(-x)^2-(2a-ab)x-2a^2,整理得，2a-ab=0
解得：a=0或b=2
而函数值域为[-10，∞）,即存在最小值为-10，那么函数开口向上b>0
将函数化为顶点式，f(x)=b[x^2+(2a-ab)x/b]-2a^2
=b[x+(2a-ab)/2b]^2-2a^2-(2a-ab)^2/4b
其中2a-ab=0，所以f(x)=bx^2-2a^2,所以，-2a^2=-10
解析式为f(x)=2x^2-10.

Answer 2

f(x)=(x-a)(bx+2a)=b(x-a)(x+2a/b)

因是偶函数，
2a/b=-a,或a
但2a/b=-a，f(x)>=0,不满足值域为[-10，∞）,

只能：2a/b=a, 且a不等于零
则：b=2
f(x)=2(x^2-a^2)>=-2a^2

-2a^2=-10, a^2=5

f(x)=2(x^2-5)