Question

设a,b,c属于R，a+b+c=0,abc<0,求证1/a+1/b+1/c>0

Answer 1

证明：因为a+b+c=0
所以(a+b+c)^2=0
a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0
a^2+b^2+c^2=-2ab-2ac-2bc
由abc=8可以推出a,b,c不等于零.所以,等式左边肯定是大于0的，因为没有0的存在
那么等式右边可以总结出ab+ac+bc<0
所以1/a+1/b+1/c=(ac+bc+ab)/abc<0

Answer 2

证明如下：
1/a+1/b+1/c=（ac+bc+ac）/abc=[(a+c)b+ac]/abc=[-(a+c)(a+c)+ac]/abc
=-(a^2+ac+c^2)/abc=-{[a+c*(1/2)]^2+c^2*(3/4)}/abc,因为分子=-{a+c*(1/2)^2+c^2*(3/4)}<0，分母abc<0,所以相除后大于0.

Answer 3

证明：
（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=0
得出：2ab+2ac+2bc=负（a²+b²+c²）。
所以。ab+ac+bc＜0，（因为abc不能同时为0，所以不能取“=”号）。

又因为：(1/a+1/b+1/c)*abc=ab+ac+bc＜0，而abc＜0，
可得证：1/a+1/b+1/c＞0。