Question

一个有关积分的物理问题

不要嫌题目长噢，就当做救我一面吧：
设在宇宙中有密度为ρ的尘埃，这些尘埃相对惯性参考系是静止的。有一质量为m的航天器以初速v穿过宇宙尘埃，由于尘埃粘贴到航天器上，致使航天器的速度发生改变。求航天器的速度与其在尘埃中飞行时间的关系。为便于计算，设想航天器的外形是截面积为S的圆柱体。
我是这样想的：经过时间 t 以后航天器增重ρSvt,这样根据动量守恒不是可以直接求到其速度与时间关系吗？？·但是答案却是用到了积分：dm=ρSvdt,,请问为什么要用到积分呢？？

Answer 1

首先，要明白在尘埃中运动速度是不断变化的（不断减小），所以黏贴到航天器上的尘埃的质量随时间也是越来越少的。

其次，对于这类题目，假设在时间t，航天器的速度是u（这个要与初速度v区分开），
在很短时间dt内运动的距离是：ds=udt，
从而有体积为：dV=S*ds=Sudt的尘埃落入航天上，
此部分尘埃的质量为：dw=ρSudt，
再通过动量守恒定理可知：wu=mv（w为此是航天器的质量，因为之前以后部分尘埃落入航天器，在dt时间内可认为是不变的），
则有：wdw=ρSmvdt，
两边积分可得：0.5w^2=ρSmvt+C，（t=0时，w=m；则：C=0.5m^2）
开方可得：w=根号下（2ρSmvt+m^2），
带入动量守恒定理得速度与时间的关系为：u=mv/(根号下（2ρSmvt+m^2）)

Answer 2

“经过时间 t 以后航天器增重ρSvt”这里错了，由于尘埃的存在，致使航天器的速度发生改变，所以航天器行走的距离不再是vt，明白了吗？

Answer 3

因为在时间t内，速度是不断变化的，因此你不能用一个v来代替整个t内的速度。即增重m=ρSvt中v不变是不合适的。所以应该用微积分。