Question

对于函数f(x),在使f(x)>=M恒成立的所有常数M中,我们把M的最大值称为函数的下确界,则f(x)=(x^2+1)/(x+1)^2

的下确界为
要过程

Answer 1

x=0时
f(0)=1
x>0 时 x+1/x>=2
f(x)=(x^2+1)/(x+1)^2
=1-2x/(x^2+2x+1)
=1-2/(x+1/x+2)>=1/2
x<0 且x≠-1时 x+1/x<-2
f(x)>1
综上
M<=1/2
下确界为1/2

Answer 2

令y=(x²+1)/(x+1)²
整理得：(y-1)x²+2yx+(y-1)=0
欲使得存常数M，则此一元二次方程必有实根
∴Δ=(2y)²-4(y-1)²≥0
解之得：y≥1/4
∴f(x)=(x²+1)/(x+1)²的下确界为 1/4

Answer 3

解：
f(x)=(x²+1)/(x+1)²
= (x²+2x+1-2x)/(x²+2x+1)
= 1-2x/(x²+2x+1)
=1-2/(x+1/x+2)
当x>0时， ∵x+1/x≥2*√ x*√ （1/x）；
==>x+1/x+2≥2+2=4;
==>2/(x+1/x+2)≤2/4=1/2;
==>1-2/（x+1/x+2）≥1-1/2=1/2;
即f(x)=(x²+1)/(x+1)²≥1/2;
∴，其下确界为1/2;

所以

Answer 4

对不起，开始答错了，应该是0.5