Question

高中数学求解答

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Answer 1

解：（1）设左焦点为F1(-c,0),右焦点F2(c,0）（c>0), 椭圆上的动点P(x,y)到原点的距离为d,则
向量PF1*PF2=(-c-x,-y)*(c-x,-y)=x^2+y^2-c^2 =d^2-c^2
显然，当P到原点O的距离为长轴长的一半时，即d=｜OP|=a=2时，PF1*PF2取得最大值，
所以 a^2-c^2=1===> b^2=1
所要求的椭圆E的方程为：x^2/4+y^2=1................. (I)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则A'(x1,-y1) 依题意知: y1+y2<>0, 直线AB：x=ky-1 (k<>0).......(II)
由 方程（I),(II)联解，消去y,整理，得
（k^2+4)y^2-2ky-3=0 ...................(III)
y1,y2是方程（III)的两个解， 所以
y1+y2=2k/(k^2+4) .........(IV) y1y2=-3/(k^2+4)..............(V)
直线A'B的斜率必定存在， 否则，A'与B关于x轴对称，A, B重合， 不合题意，设直线A'B的斜率为k0, 直线A'B与x轴的交点为C（x0,0), A'(x1,-y1),
所以： y1/(x0-x1)=(y2+y1)/(x2-x1) ===>x0=(x1y2+x2y1)/(y1+y2)
又 x1=ky1-1 , x2=ky2-1 代入上式，得
x0=(2ky1y2)/(y1+y2)-1
将（IV),(V) 式 代入上式， 得 x0=(-3*2k)/2k-1=-3-1=-4.
所以 直线A'B与x轴相交于定点（-4，0）。