问一道定积分的问题

若F(X)=∫(上限正无穷,下限负无穷)xf(x)dx,那么F(x的2次方)是多少呢?确实是我写错了,应该是X的数学期望EX=∫(上限正无穷,下限负无穷)xf(x)dx,... 若F(X)=∫ (上限正无穷,下限负无穷)xf(x)dx,那么F(x的2次方)是多少呢?
确实是我写错了,应该是X的数学期望EX=∫ (上限正无穷,下限负无穷)xf(x)dx,然后资料书上的是Ex²(X的2次方)=∫ (上限正无穷,下限负无穷)x²f(x)dx,我不明白为什么只是x变成x²,而f(x)没有变
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JC飞翔
2010-08-28 · TA获得超过1277个赞
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你对书上的定理没有完全搞清楚,这是有定理为依据的,不是你主观推测的。

定理的推导不在这里详述,只指出你的错误所在。

详细分析过程如下:

安克鲁
2010-08-27 · TA获得超过4.2万个赞
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解答:

这道题应该是楼主, 或某个教师用来测试学生对定积分的理解程度,一楼已经明显上当!

1、∫(x₁→ x₂)xf(x)dx 的结果,是一个固定值,不再是x的函数,否则就不是定积分。

2、上限、下限,只要有其中之一,或两个一起,变成 -∞, 或 +∞,
英文中称为 improper integration, 汉语中译为广义积分。

3、广义积分的结果,是一个数,一个值,不是一个函数。
本题的写法 F(x) 本身就不妥当,F 不是 x 的函数,最多只能当成一个记号。

4、当被积函数改成 x²f(x²) 时,积分结果记为 F(x²) 时,此时的结果与F(x)
无关,因为已经变成了另外一个函数积分了。

举例说明:∫(-1→1)[x根号(1+x)]dx = 0.377123616
∫(-1→1)[x²根号(1+x²)]dx = 0.840316775

5、积分函数是上下限的函数,跟被积函数用什么变量没有直接联系。

6、如果是做变量代换,将原来的x换成x²时,结果就成为:
2∫(-∞→∞)x²f(x³)dx。
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dbb627
2010-08-27 · TA获得超过1.2万个赞
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F(x)=∫ (上限正无穷,下限负无穷)xf(x)dx

F(x的2次方)=∫ (上限正无穷,下限负无穷)x²f(x²)dx²
=∫ (上限正无穷,下限负无穷)x²f(x²)2*xdx
=∫ (上限正无穷,下限负无穷)2x³f(x²)dx
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