Question

问一道定积分的问题

若F（X）=∫ (上限正无穷，下限负无穷)xf(x)dx,那么F（x的2次方）是多少呢？
确实是我写错了，应该是X的数学期望EX=∫ (上限正无穷，下限负无穷)xf(x)dx，然后资料书上的是Ex²（X的2次方）=∫ (上限正无穷，下限负无穷)x²f(x)dx，我不明白为什么只是x变成x²，而f(x)没有变

Answer 1

你对书上的定理没有完全搞清楚，这是有定理为依据的，不是你主观推测的。

定理的推导不在这里详述，只指出你的错误所在。

详细分析过程如下：

Answer 2

解答:

这道题应该是楼主, 或某个教师用来测试学生对定积分的理解程度，一楼已经明显上当！

1、∫(x₁→ x₂)xf(x)dx 的结果，是一个固定值，不再是x的函数，否则就不是定积分。

2、上限、下限，只要有其中之一，或两个一起，变成 -∞, 或 +∞，
英文中称为 improper integration, 汉语中译为广义积分。

3、广义积分的结果，是一个数，一个值，不是一个函数。
本题的写法 F(x) 本身就不妥当，F 不是 x 的函数，最多只能当成一个记号。

4、当被积函数改成 x²f(x²) 时，积分结果记为 F(x²) 时，此时的结果与F(x)
无关，因为已经变成了另外一个函数积分了。

举例说明：∫(-1→1)[x根号(1+x)]dx = 0.377123616
∫(-1→1)[x²根号(1+x²)]dx = 0.840316775

5、积分函数是上下限的函数，跟被积函数用什么变量没有直接联系。

6、如果是做变量代换，将原来的x换成x²时，结果就成为：
2∫(-∞→∞)x²f(x³)dx。

Answer 3

F（x）=∫ (上限正无穷，下限负无穷)xf(x)dx

F（x的2次方）=∫ (上限正无穷，下限负无穷)x²f(x²)dx²
=∫ (上限正无穷，下限负无穷)x²f(x²)2*xdx
=∫ (上限正无穷，下限负无穷)2x³f(x²)dx