Question

线性代数，这题怎么做？

Answer 1

以 <> 表示下标。
系数矩阵行列式 |A| =
|a b b ...... b b|
|b a b ...... b b|
|b b a ...... b b|
| ...................... |
|b b b ...... a b|
|b b b ...... b a|
第2，3，..., n 列均加到第 1 列，然后
第2，3，..., n 行均减去第 1 行，得
|A| = [a+(n-1)b](a-b)^(n-1)
当 a ≠ b，且 a ≠ -(n-1)b 时， |A| ≠ 0， 方程组只有零解。
当 a = b，或 a = -(n-1)b 时，|A| = 0， 方程组有非零解。
当 a = b ( ≠ 0 ) 时，
方程组化为 -x<1> = x<2>+......+ x<n >
基础解系是 (-1, 1, 0, ......, 0, 0)^T, (-1, 0, 1, ......, 0, 0)^T,
...... , (-1, 0, 0, ......, 0, 1)^T
通解是 x = k<1>(-1, 1, 0, ......, 0, 0)^T+k<2>(-1, 0, 1, ......, 0, 0)^T
+ ...... + k<n-1>(-1, 0, 0, ......, 0 1)^T
当 a = -(n-1)b ( ≠ 0 ) 时，A =
[a b b ...... b b]
[b a b ...... b b]
[b b a ...... b b]
[ ...................... ]
[b b b ...... a b]
[b b b ...... b a]
第1，2，..., n-1 行均加到第 n 行，A 初等变换为
[a b b ...... b b]
[b a b ...... b b]
[b b a ...... b b]
[ ...................... ]
[b b b ...... a b]
[0 0 0 ...... 0 0]
第2，3，..., n-1 行均减去第 1 行，A 初等变换为
[a b b ...... b b]
[b-a a-b 0 ...... 0 0]
[b-a 0 a-b ...... 0 0]
[ ...................... ......]
[b-a 0 0 ...... a-b 0]
[0 0 0 ...... 0 0]
方程组化为
ax<1>+bx<2>+...+bx<n-1> + bx<n> = 0
x<1> - x<2> = 0
x<1> - x<3> = 0
............
x<1> - x<n-1> = 0
取 x<1> = 1, 则 x<2> = x<3> = ... = x<n-1> = 1
x<n> = 1-n-a/b,
则 基础解系 x = （1，1，1，......, 1, 1-n-a/b)^T
通解 x = k（1，1，1，......, 1, 1-n-a/b)^T