Question

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1.在三角形ABC中，角C=90度，角A＝30度，分别以AB、AC为边为三角形ABC的外边作等边三角形ABE和等边三角形ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD
2.在三角形ABC中，AB垂直BC于D，角B＝2角C，求证：AB+BD=CD

Answer 1

1.证明：
过E作EH⊥AB于H
∵△ACD等边
∴AD＝AC
∵∠C＝90°，∠A＝30°
∴AD＝AC＝√3BC，AB＝2BC
∵△ABE等边，EH⊥AB
∴EH＝√3/2AB＝√3BC
∴EH＝DA
∵△ACD等边
∴∠CAD＝60°
∴∠DAF＝∠CAD＋∠BAC＝90°
∵EH⊥AB
∴∠EHF＝∠DAF＝90°
又∵∠EFH＝∠DFA，EH＝DA
∴△EHF≌△DAF
∴EF＝DF

2.证明：（你题目打错了，应该是AD⊥BC于D，不是AB）
在CD上取点E使得DE＝DB，连结AE
则AD为△ABE中线
又∵AD⊥BC
∴AD为△ABE高线
∴AB＝AE（我忘了有没有三线合一逆定理这个定理，不过要是没有，证一步△ABD≌△AED也就可以了，用SAS）
∴∠B＝∠AED
∵∠B＝2∠C
∴∠AED＝2∠C
又∵∠AED＝∠C＋∠EAC
∴∠C＝∠EAC
∴CE＝AE＝AB
又∵CD＝CE＋DE，DE＝BD
∴AB＋BD＝CD