Question

设f(x)是定义在R上的函数，且在（—∞，+∞）上是增函数，又F（x）=f(x)－f(-x)，那么F（x）一定是（ ）

A.奇函数，且在（—∞，+∞）上是增函数
B.奇函数，且在（—∞，+∞）上是减函数
C.偶函数，且在（—∞，+∞）上是增函数
D.偶函数，且在（—∞，+∞）上是减函数
希望各位帮我解答一下，并且把过程写下来，谢谢！

Answer 1

选A

F（x）=f(x)－f(-x)
F（-x）=f(-x)－f(x)

显然是奇函数

设x1>x2, 有-x1 < -x2

F(x1) - F(x2) = f(x1) - f(-x1) - f(x2) + f(-x2)
= f(x1) - f(x2) + f(-x2) - f(-x1)

由于f(x)在R上地增函数,所以f(x1) - f(x2) > 0, f(-x2) - f(-x1) > 0
所以F(x1) - F(x2) > 0
所以是增函数

Answer 2

首先，替换x为-x 得到 F(-x)=f(-x)-f(x) = -[f(x)-f(-x)] = -F(x)
定义域关于原点对称，所以是奇函数
再次，f(x)是增函数，则f(-x)是减函数，且定义域相同
增函数减减函数，是增函数
故 选 A