Question

定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x < 0时，f(x)>0,则f(x)在 [a,b ] 上有

A、最小值f(a) B、最大值f(b) C、最小值f(b) D、最大值f((a+b)/2)

Answer 1

令x＝y＝0，得：f(0)＝f(0)＋f(0)，从而f(0)＝0
再令y＝－x，得：f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，可知f(x)是奇函数
对任意x1∈R、x2∈R，当x1＜x2时，x1－x2＜0，f(x1－x2)＞0
∴f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)－f(x2)＞0
∴f(x1)＞f(x2)
可知f(x)在定义域内是单调递减函数
从而f(x)在[a，b]上有最大值f(a)、最小值f(b)
选C

Answer 2

由条件知函数具有单调性,证明如下

设x1<x2
不妨设:x1=x2+A 其中A<0
这样由条件可得:
f(x1)-f(x2)=f(x2+A)-f(x2)=f(A)>0
此时我们得到
当x1<x2时有f(x1)>f(x2)
可见R上的函数f(x)为减函数
在区间[a,b]上有最小值f(b) 和最大值f(a)
选择C

Answer 3

选C
f(x+0)=f(x)+f(0) 所以f(0)=0; 假设f(0)=f(1-1)=f(-1)+f(1) 因为f(x)在x<0时f(x)>0，所以f(1)<0; 由此可得，在x>0 时，f(x)<0;因此，f(x)在R上单调递减，有最大值。即为f(a）。 在[a,b]上有最大值f(a), 最小值f(b).