Question

一个关于导数的问题

已知函数f(x)=1/2(x-1)2+lnx-ax+a,若对任意的x属于（1,3),都有f(x)＞0成立，求a的取值范围。
请给出一种解法。答案是a≤1,算到了这个答案在回答，在线等
顺便再帮我解决一个问题，为什么我用分离变量的方法做这道题时，求完变量a右边的式子的导数时，发现x=0时是一个极值点，可将其带入时却发现式子没意义，这是为什么？
打错了，x=1时是一个极值点
那个函数是f(x)=1/2×(x-1)2+lnx-ax+a

Answer 1

解答:
f(x) = ½(x-1)² + lnx - ax + a
f'(x)= x - 1 + 1/x - a
令 f'(x) 〉 0
即 x + 1/x - 1 - a > 0
因为 1 < x < 3, x 为正
所以 x² - x - ax + 1 > 0
即 x² - (a+1)x + 1 > 0
令 (a+1)² - 4 < 0
得 |a+1| < 2
即 -2 < a+1 < 2, -3 < a < 1
(是小于1，不是小于等于1)

这说明了，如果 -3 < a < 1, 因为 f(1) = 0, f'(x) 〉0，
得知 f(x)在（1，3）区间上是递增函数，所以保证了f(x)>0成立

问题说明：
1、不明白为什么要用到奋力变量法？楼主的题目是否有一部分没有打出来？
2、a只是范围，不是一个具体的值，如何确定极值点？对于a=1,x=1也只是零点,
而不是极值点。
3、本题只是结合二次函数的判别式与一阶导数的应用而已。

Answer 2

式子不清楚，无法解答。至于第二个问题，你没有考虑定义域的范围，在求出0是一个极值时，已经默认定义域为R了。应该舍去此解。

Answer 3

f(x)=1/2(x-1)2+lnx-ax+a
f'(x)=x+1/x-(1+a)
又f(1)=0 limf(x)>0(x->1+)
f(x)在(1,3)上需要单调增
所以f'(x)>=0
x+1/x-(1+a)>=0
1+a小于等于x+1/x的最小值即2
所以a<=1

Answer 4

f'(x)=[(x^2+1)*a-2x(ax+b)]/(x^2+1)^2
=(-ax^2-2bx+a)/(x^2+1)^2
分母的(-2b)^2+4a^2>0,f'(x)=0有两个不等实根
a>0,f(x)先减后增再减,所以极大值点和极小值点各有一个