Question

高中竞赛题

1.f(x)=log a x ,在[a,2a]上最大值是最小值的3倍，求a
2.奇函数f(x),当x>0时，f(x)=x*(1+x的立方根)，则当x<0时，f(x)=?
3.f(x)+2*f(1/x)=3*x,求f(x)=?
4.试证明 常系数三阶递推数列 的解法
（第四问可不证，但希望各路高手不吝赐教）

Answer 1

你这是高一的竞赛吧
(1) 由于f(x)为单调函数，所以最值在定义域端点取得
a>1时，最大比最小=loga2a/logaa=loga2a=3 a=根号2
0<a<1时，最大比最小=logaa/loga2a=1/loga2a=3 a=(1/2)^(3/2)
（2）当x<0时，-x>0,则有f（-x）=(-x)(1+(-x)的立方根)
f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)=-(-x)(1+(-x)的立方根)=x(1-x的立方根)
(3)将1/x作为变量代入上式有f(1/x)+2*f(x)=3/x,联立两个方程，消去f(1/x)
f(x)=2/x-x