Question

数学的二元二次方程怎样配方？

有方法吗？顺便举个例子

Answer 1

我们知道，二元一次方程表示的图形是直线，但一些二元二次方程和无理方程在一定的条件下，它也可以表示一条直线或两条直线，其解法的基本思想是将方程化归为二元一次方程，但其方法较为灵活
1、直接分解法例

1、证明：方程x2-xy-6y2+3x-9y=0表示两相交直线。

分析：只需将方程左边分解成两个二元一次方程即可。

证明：原方程可化为(x-3y)(x+2y)+3(x-3y)=0(x-3y)(x+2y+3)=0∴x-3y=0 或x+2y+3=0∴方程表示两条直线又∵它们的斜率不相等，∴两直线相交。

2、配方法例

2、当k为何值时，方程x2-y2+2kx-4y+3k=0表示直线。

分析 ：对x,y 分别进行配方，把方程化为(x-m)2-(y-n)2=c的形式，令c=0即可表示直线。

解：方程可化为 (x+k)2-(y+2)2=k2-3k-4令k2-3k-4=0,得k=4或k=-1即当k=4或-1 时，方程表示直线。

3、待定系数法
例3、若方程x2-2xy-3y2-kx+(k+6)y-2=0表示直线，试确定k 的值。

分析 ：方程中的二次项可分解为(x-3y)(x+y),所以，方程欲表示直线，方程左边只需分解成(x-3y+m)(x+y+n)=0即(x-3y)(x+y)+m(x+y)+n(x-3y)+mn=0(x-3y)(x+y)+(m+n)x+(m-3n)y+mn=0m+n=-km-3n=k+6mn=-2 m=2n=-1k=1 m=1n=-2k=-1 ∴ ∴ k=±1.

4、判别式法

例4、是否存在实数k，使方程x2+2kxy-3y2+4x+(k+3)y+4k=0表示直线，若能，试确定k的值；若不能，请说明理由。

分析：将方程视作x的一元二次方程，即Ax2+Bx+C=0,欲使方程表示直线，只需ㄓx是完全平方式，请注意，它是关于y的二次三项式，而要使y的二次三项式为完全平方，只需ㄓy=0即可。

解：方程可化为x2+(2ky+4)x-3y2+（k+3）y+4k=0∴ㄓx=(2ky+4)2-4[-3y2+(k+3)y+4k]=(4k2+12) y 2+12(k-1)y+16(1-k)为完全平方式∴ㄓy=0即[12(k-1)]2-4(4k2+12)×16(1-k)=0(k-1)(16k2+9k+39)=0,∴k=1∴存在k=1使得方程表示直线。

5、利用根分布

例5、 仅表示一条直线，求此时k的取值范围。

分析：将方程视作 的一元二次方程，则方程表示一条直线的充要条件是关于 的一元二次方程仅有一个非负实数根。解：令 =t(t≥0)方程可化为t2-3t+k+3=0 (t≥0) (*)∴方程（*）在 上有且仅有一个非负实根。ㄓ=0 ∴ 或k +3<0 ∴ .说明：方程（*）在 上有且仅有一个非负实根的问题，也可用数形结合法来解，这里不再赘述。

Answer 2

和一元一次方程配方一样
都是多项式的变形化简