Question

二次函数的问题

已知函数f(x)=3ax²+2bx+（b-a). (a,b不同时为0）
求证函数y=f(x)在（-1,0）内至少有一个零点

Answer 1

解：1）当a=0时，f(x)=b(2x+1),存在x=-1/2使得f(x)=0,
故在（-1,0）内有一点为零点；
2）当a不等于0时，
二次函数f(x)=3ax²+2bx+（b-a)与x轴有交点，
则德尔塔=4b^2-4*3a*(b-a)=4[b^2-3ab+3a^2]
=4[(b-3a/2)^2+3a^2/4]>0恒成立
(i)若b>a,f(0)=b-a>0恒成立,
A、若a<0时，f(-1)=3a-2b+(b-a)=2a-b=a+(a-b)<0恒成立，
函数y=f(x)在（-1,0）内至少有一个零点；
B、若a>0时，且b>a>0，对称轴x=-b/3a<-1/3，函数开口向上,
若对称轴在（-1，-1/3）区间上，由于f(0)=b-a>0恒成立，
那么函数与x轴的交点（函数的零点）至少有一个在（-1,0）
(画出函数图一目了然)(故此处不用讨论f(-1)的大小了）；
若对称轴x<=-1,即-b/3a<=-1,即b>=3a，即f(-1)=2a-b<=2a-3a<0
所以f(-1)<0成立，所以函数y=f(x)在（-1,0）内有一个零点；
所以a>0时,函数y=f(x)在（-1,0）内至少有一个零点；
(ii)若b<a,显然f(0)=b-a<0,f(-1)=3a-2b+(b-a)=2a-b>0,
所以函数y=f(x)在（-1,0）内至少有一个零点
综上，函数y=f(x)在（-1,0）内至少有一个零点。

Answer 2

不会，什么叫零点？