Question

设数列{an}的前n项和为Sn，数列{√（Sn+1）}是公比为2的等比数列

证明数列{an}是等比数列的充要条件是a1=3

Answer 1

数列{√（Sn+1）}是公比为2的等比数列
则√（Sn+1）=2√（Sn-1+1）
Sn+1=4（Sn-1+1）
(Sn+1)/(Sn-1+1)=4
用迭代累乘可得(Sn+1)/(S1+1)=4^(n-1)
得到Sn=(S1+1)4^(n-1)-1
=(a1+1)4^(n-1)-1
充分性：
a1=3时，Sn=4^n-1
可知数列{an}是以3为首项，4为公比的等比数列
必要性：
数列{an}是等比数列时,由Sn=(a1+1)4^(n-1)-1可知q=4
所以Sn=a1(4^n-1)/3=(a1+1)4^(n-1)-1
取n=2就可以得到a1=3了
综上讨论可知数列{an}是等比数列的充要条件是a1=3