Question

矩阵行列式问题

求证：对任意两n阶同型方阵A、B有
|AB|=|A|·|B|

Answer 1

就是构造2n阶的矩阵D（这里用分块矩阵表示）
D =
|A 0|
|C B|
这是一个上三角矩阵，易得|D| = |A||B|

(A、B是原来的n阶阵，O代表全零的n阶矩阵，C代表对角线上元素全部是-1，其他元素全部是0的n阶对角矩阵)

下面证明|D| = |AB|
对矩阵D施行初等行变换（具体过程很繁琐，略去）变换成下面的形式D =
|A M|
|C 0|
其中0还是全零矩阵，矩阵M的元素M(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ... + a(i,n)b(n,j),(易看出M实际上就是矩阵AB)
取D的第n + 1，n + 2，。。。，2n列，将行列式按块展开，
D = （-1）^(1+2+3+..+n) * |C| * |M|
（C是对角线全为-1的对角矩阵，其行列式的值易求得）
即有|D| = |AB|

http://algebra.math.ust.hk/determinant/05_proof/lecture3.shtml#product
http://www.cqvip.com/qk/97850A/200102/11793262.html
http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-DZHX199702004.htm