Question

高一数学题】函数f(x)=ax^2-2根号下(4+2b-b^2)x，g(x)= -根号下(1-(x-a)^2)，(a,b∈R)

【高一数学题】函数f(x)=ax^2-2根号下(4+2b-b^2)x，g(x)= -根号下(1-(x-a)^2)，(a,b∈R)

求满足下列条件的所有整数对(a,b)，存在x0，使得f(x0)是f(x)的最大值，g(x0)是g(x)的最小值；

Answer 1

函数f(x)=ax^2-2根号下(4+2b-b^2)x是二次函数，
要想有最大值需a<0,
根据顶点坐标公式可知：
x0=（根号下4+2b-b^2)/a
g(x)= -根号下（1-(x-a)^2）只有在x0=a时才能取到最小值
所以有：
（根号下4+2b-b^2)/a=a
即： 4+2b-b^2=a^4
因为a^4大于或等于0
所以：4+2b-b^2大于或等于0
解不等式得到b的取值范围为：【1-根号5，1+根号5】
所以b的可能性取值有：-1，0，1，2，3
当b分别取-1，0，1，2，3时，a^4=1，4，5，4，1
因为a<0
所以整数对(a,b)有（-1，-1）和（-1，3）

Answer 2

g(x)最小值肯定是0，此时x取a-1或a+1。4+2b-b^2肯定为负，不然f(x)没有最大值，这一点从求导可知。由求导也可知a为非正。
~~~~~~~~~~~好像没解。我是由推导过程中一个等式等号左右奇偶性不等得出的。
也许错了。你等其他人的答案吧。

Answer 3

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