Question

几道高中简单的不等式，求帮助

1.设a＞b＞c，n属于N，且1/（a-b）+1/(b-c)≥n/(a-c)恒成立，则n的最大值是？
2.a,b为正数，满足a^3-b^3=a^2-b^2，a+b的取值范围是？
3.a,b,c属于R+，且a+b+c=1,M=(1/a -1)(1/b -1)(1/c -1)，求M的取值范围
4.若a，b，c，d，都为正数，且a+b+c+d=4,用M表示a+b+c,a+b+d,a+c+d,b+c+d中的最大者，则M的最小值为？
5. 3x/(x^2+x+1)的最大值为？
6.丨x-3丨+丨x-4丨＜a,的解集不为空集，求a的取值范围
7.若a,b属于R+，且a≠b，M=a/b^(1/2)+b/a^(1/2),N=a^(1/2)+b^(1/2),M与N的大小关系是？

麻烦各位告诉我思路和过程，谢谢了

Answer 1

1。第一个化为1/x+1/y≥n/(x+y) 其中x,y>0
由均值不等式很容易得到（x+y）*（1/x+1/y）≥4
所以n的最大值是4
2。当a=b,a+b可以是任何正数
a，b不相等时有(a+b)^2-ab=a^2+ab+b^2=a+b
将ab<=(a+b)^2/4带入得不等式，求解即可
3。把1/a,1/b,1/c 中的1用a+b+c代替即可求解
4. 把这4个数相加=12且小于等于4M 所以M》=3
5。转化成求(x^2+x+1)/x的最小值，其中x>0
6。绝对值的几何意义丨x-3丨+丨x-4丨》|（x-3）-(x-4)|=1
所以a>1
7.化成M=x^2/y+y^2/x
N=x+y
M-N=x^2/y-x+y^2/x-y
=x(x-y)/y+y(y-x)/x
=(x-y)^2(x+y)/xy>=0
so M>=N