Question

如题： 已知f（x）=x+a/x （a>0) 求函数的单调区间 。

定义法

Answer 1

f（x）=x+a/x （a>0)
f'（x）=1-a/x^2=0 （a>0)
得驻点 ： x=±√a
当 0<|x|<√a 时，f'<0 ,函数单调递减,递减区间 (-√a,0)U(0，√a)；
当 √a<|x| 时，f'>0 ,函数单调递增,递增区间 (-∞,-√a)；(√a,+∞)

f（x）=x+a/x （a>0)
f'（x）=1-a/x^2=0 （a>0)
得驻点 ： x=±√a
当 0<|x|<√a 时，f'<0 ,函数单调递减,递减区间 (-√a,0)U(0，√a)；
当 √a<|x| 时，f'>0 ,函数单调递增,递增区间 (-∞,-√a)；(√a,+∞)

晕！，要求不少，还不说。
设 0<x1<x2
则：f(x2)-f(x1)=x2-x1+a(1/x2 -1/x1)
= x2-x1+a(x1-x2)/x2x1
=( x1x2-a)*(x2-x1)/x2x1 (x2-x1)/x2x1 > 0
又 f（-x）=-f（x）为 奇函数，即有：
当 0<|x1|,|x2|<√a 时 ,f(x2)-f(x1)= x1x2-a <0 函数单调递减,
递减区间 (-√a,0)U(0，√a)；

当 √a<|x1|,|x2| 时，f(x2)-f(x1)= x1x2-a >0函数单调递增,
递增区间 (-∞,-√a)；(√a,+∞)