Question

函数y=(x²+2x+2)/x+1的值域是？

函数y=(x²+2x+2)/x+1的值域是？
{y|y≤-2，或y≥2}
答案已给出，求详细解题步骤，多谢~

Answer 1

用判别式法
yx+y=x^2+2x+2
x^2+(2-y)x+(2-y)=0
这个关于x的方程有解则判别式大于等于0
所以(2-y)^2-4(2-y)>=0
(2-y)(2-y-4)>=0
(y-2)(y+2)>=0
y>=2,y<=-2
所以值域(-∞,-2]∪[2,+∞)

Answer 2

y=(x²+2x+2)/x+1
=[(x+1)²+1]/(x+1)
=(x+1)+1/(x+1)
x≠-1
当x>-1时,x+1>0,1/(x+1)>0
y=(x+1)+1/(x+1)>=2√(x+1)*1/(x+1)=2

当x<-1时,x+1<0,1/(x+1)<0
y=(x+1)+1/(x+1)<=-2√(x+1)*1/(x+1)=-2
综上可知:y=(x²+2x+2)/x+1的值域是{y|y≤-2，或y≥2}

Answer 3

y
=(x^2+2x+2)/(x+1)
=[(x+1)^2+1]/(x+1)
=(x+1)+1/(x+1)

形如x+m/x这样的函数，
有两个极值，x+m/x≥2√m（x>0），x+m/x≤-2√m（x<0）

故(x+1)+1/(x+1)≥2 (x>-1)
(x+1)+1/(x+1)≤-2 （x<-1)

Answer 4

y(x+1)=x²+2x+2
x²+(2-y)x+(2-y)=0
x是实数则方程有解，判别式大于等于0
所以(2-y)²-4(2-y)≥0
(2-y)(2-y-4)≥0
(y-2)(y+2)≥0
y≤-2，y≥2