Question

一道不等式 高中的

X Y Z 的和为1 A B C 是正数 求：
AX+BY+ZC+（（XY+YZ+ZX）*（AB+BC+CA））^0.5≤A+B+C
()^0.5表示开根号

Answer 1

XY<=((X+Y)/2)^2,
同理得到YZ，ZX，AB，BC，CA。写成同样的形式；
（XY+YZ+ZX）*（AB+BC+CA）<=1/16((X+Y)^2+(Y+Z)^2+(Z+X)^2)*((A+B)^2+(B+C)^2+(C+A)^2)<=1/16((X+Y)*(A+B)+(Y+Z)*(B+C)+(Y+Z)*(C+A))^2(柯西）；
把根号加上得：原式<=AX+BY+ZC+1/4((X+Y)*(A+B)+(Y+Z)*(B+C)+(Y+Z)*(C+A))；
把式子整理可得：原式<=A+B+C+5/4(AX+BY+ZC)<A+B+C
希望可以看懂