Question

已知函数f(x)=x²-1与函数g(x)=alnx(a≠0).(1)若f(x),g(x)的图象在点(1,0)处

已知函数f(x)=x²-1与函数g(x)=alnx(a≠0).（1）若f(x)，g(x)的图象在点（1,0）处有公共的切线，求实数a的值；（2）设F(x)=f(x)-2g(x)，求函数F(x)的极值.请给出详细的解答过程以及正确的答案
第二问不能用第一问的结论，请重新回答第二问，谢谢

Answer 1

（1）先求f(x)在点（1,0）处的切线斜率为f′(1)=2，
由题意，g′(1)=2即a=2.
（2）F(x)=f(x)-2g(x)
=x²-1-2alnx（x>0，a≠0）
F′(x)=2x-(2a/x)=2(x²-a)/x.
① 当a≤0时，F′(x) ≥0，F(x)无极值；
② 当a＞0时，F′(x)=2（x+√a）（x-√a）/x
∴F(x)在（0，√a ]上为减函数，在（√a，＋∞）上为增函数，
∴当x=√a时，F(x)取极小值F(√a)=a-alna-1.
综上，当a≤0时，F(x)无极值；
当a＞0时，F(x)有极小值F(√a)=a-alna-1.

Answer 2

1.f'(x)=2x
g'(x)=a/x
f'(1)=g'(1)
a=2
2.
F'(x)=2x-2a/x a≠0时x>0
=2(x-a/x)
a>0时
令
F'(x)=0
x=√a,-√a(舍)
x>√a时,F(x)递增
0<x<√a时,F(x)递减
极小值
F(√a)=1-aln√a=1-a(lna)/2
a=0时 F(x)x^2-1
令
F'(x)=0
x=0
极小值F(0)=-1
a<0 时
F'(x)>0 恒成立
F(x)递增
无极值