Question

已知f(x)=px²-q且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围

Answer 1

f（1）=p-q
f（2）=4p-q
f（3）=9p-q
设f（3）=kf（1）+tf（2）=（k+4t）p-（k+t）q
所以k+4t=9，k+t=1，所以t=8/3，k=-5/3
即f（3）=-5f（1）/3+8f（2）/3
又-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5
所以5/3≤-5f（1）/3≤20/3
-8/3≤8f（2）/3≤40/3
两式相加
-1≤-5f（1）/3+8f（2）/3≤20
所以-1≤f（3）≤20

Answer 2

f(1)=p-q
f(2)=4p-q
f(3)=9p-q
设f(3)=mf(1)+nf(2)
=m(p-q)+n(4p-q)=(m+4n)p+(-m-n)q
所以m+4n=9 -m-n=-1
m=-5/3 n=8/3
所以mf(1)属于[5/3,20/3]
nf(2)属于[-8/3,40/3]
f(3)=mf(1)+nf(2)属于[-1,20]
即-1<=f(3)<=20