Question

已知函数f(x)=ax³+bx²-3x(a,b∈R),在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0.(1

已知函数f(x)=ax³+bx²-3x(a，b∈R)，在点（1，f(1)）处的切线方程为y+2=0.（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有丨f(x1)-f(x2)丨≤c，求实数c的最小值；（3）若过点M（2，m）（m≠2），可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.请给出详细的解答过程.

Answer 1

解：有题得
f(1) = a+b-3
f(x)'= 3ax^2 + 2bx - 3
所以在点(1,f(1))处的切线方程为
y - f(1) = f(1)'*(x - 1)
因题中已给出方程 y + 2 = 0
所以 f(1)' = 3a + 2b - 3 = 0
-f(1) = 2 = - a - b + 3
解得 a = 1, b = 0
所以函数的解析式是
f(x) = x^3 - 3x

f(x)' = 3x^2 - 3 = 0
解得x = 1或是 -1
得到 f(-1) = 2 , f(1) = -2
有因为
f(-2) = -2 , f(2) = 2
所以f(x)在[-2,2]内f(x1)与f(x2)最大的差值为4
所以c的最小值为 4

f(x)上任一点（x. , y.）的切线方程为
y - y. = f(x.)'(x - x.)
即 y - x.^3 + 3x. = (3x.^2 - 3)*(x - x.)
若直线过点M
则 m - x.^3 + 3x. = (3x.^2 - 3)*(2 - x.)
化简的
2x.^3 - 6x.^2 + 6 + m = 0
若上面方程有三个解，
则符合条件的m即为所求
令
F(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6 + m
（这样我们只要用过求导，得到其一个最值是大于0，一个最值小与0，就可以确定图像和X轴有三个交点。）
则 F(x)' = 6x^2 - 12x
解得 x = 0 或 2
由上可知
F(0) = 6+m
F(2) = 2+m
所以 -6 < m < -2