Question

在三角形ABC中，若a³+b³-c³/a+b-c=c²,sinAsinB=3/4，试判定三角形ABC的形状

Answer 1

此三角形是等边三角形

a³+b³-c³/a+b-c=c²加上括号应该是 (a³+b³-c³)/(a+b-c)=c² 吧

a³+b³-c³=c²(a+b-c)
a³+b³-c³=c²(a+b)-c³
(a³+b³)-c²(a+b)=0
(a+b)(a²-ab+b²-c²)=0
∵a+b＞0
∴a²-ab+b²-c²=0
即a²+b²-c²=ab
由余弦定理：cosC=(a²+b²-c²)/2ab
所以cosC=ab/2ab=1/2
所以 C=60°
所以 A+B=180°-60°=120°

sinA•sinB=3/4
由积化和公式：sinα•sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]得
-(1/2)[cos(A+B)-cos(A-B)]=3/4
cos(A+B)-cos(A-B)=-3/2
cos120°-cos(A-B)=-3/2
-1/2- cos(A-B)=-3/2
cos(A-B)=1
所以A-B=0
即A=B
因为 A+B=120°
所以 A=B=C=60°
即 此三角形是等边三角形

【希望对你有帮助】