Question

求极限问题，不能只给出结果还要给出过程，谢谢。

Answer 1

你那个和是发散的，没有极限

追问

有，极限是n.但是我证不出来

追答

你的说法本身就有问题，没有极限为n这种说法的，只能说它趋于无穷，或不严谨的极限为无穷大，事实上，极限必须为有限数，除非你把无穷也当作元素扩充到数系中

追问

那让他再除于n

极限应该是1

那换个说法，让这个和再除于n.

追答

再除n就没问题了，不过答案是2

化为定积分求

追问

我觉得肯定是1

能给个过程么？

追答

追问

虽然看不懂你这个，但是为你断定你错了

追答

不好意思，原函数求错了，应该是2/3

追问

我不知道积分，但我知道这个只能是1

你看我的不等式

你再想想

追答

不可能，我是数学系的，这种题目我都做烂拉！

追问

我给你拍张图

你看我在用切片法求球的表面积公式。我求的是半球的表面积

所以我敢断定，那个极限一定是1

追答

你的不等式是对的，你证明它小于1没错，答案是2/3确实小于1，但按你这种说法的话，它也小于2，那极限不是应该是2吗？明显你的逻辑有问题

追问

你再仔细看看

如果是2/3，那球的表面积就变成什么了。

追答

你应该才高中吧？求球的表面积对你们来说还太难了，这需要用到弧微分，事实上你的公式本身就是错的。高中学的基本微积分只能求球的体积，至于表面积要等到大学才行

当然，不排除你用其他巧妙的方法求出表面积

追问

不是，我是感兴趣

我证出来是1了

写错了……

把球切成片，每片都看成圆柱，求每个圆柱的侧面积，之和不就是表面积了吗。

追答

确实微积分太强大了，你能对它感兴趣是很好的事，随着学习的深入，到大学这些基本就会算了

不会，你这样算误差太大了

微积分必须保证两者的差能够任意小

追问

随着n的增大，两者的差就是任意小了

追答

如果你对这些真的感兴趣的话，建议你去看看高等数学这本书，里面对这方面的知识有系统的讲述，我以前高中时就自学了那本书，感觉收获很多，对以后大学的学习很有帮助

追问

你那个定积分的过程拍个照片吧，我再学习一下

追答

不知道你们的定积分是怎么教的。没有学定积分的定义计算吗？

根据定义，右边的定积分就是可以按左边的极限展开计算的

追问

切片求表面积居然不行，郁闷

我看不懂你的证明……我才刚学了点极限

这个式子能证明他是单调递减的吗？

追答

不对，应该是单调递增的，从你做的几何过程可以看出，随着你切的越来越密，那些圆柱组成的表面积应该在逐渐增大

或者直接从式子本身给出代数证明，你把整个式子记作an，那么an+1的每一项应该都答应an，从而总和也大于an

追问

递减的，n等于1的时候是1,

2的时候你看是多少

你能正名吗？

证明

追答

错了，n等于1的时候是0,
证明刚刚不是写出来了吗？

追问

是1啊，你带去试试

我是说证明单调递减

追答

对，你是对的。我错了，但要证明单调递减好难，或许我没找到合适的方法。还有真对不起啊，昨天的极限我还是错的，因为我原函数又求错了，我把x^2看成x了。我重新算了一遍那个极限应该是π/4，小于1，这次我保证是对的了，我在计算机上运行过了，算了几千项极限趋于0.7多，与π/4吻合的很好

追问

这个好难……

我觉得极限就是2/3 因为很像……

我用不等式算了一下，确实大于3/2，而且这个确实是递减，这个是感觉没严密证明。簇拥微积分，只用极限做这个几乎不可能，我今天思考了一天，也没什么进展。

写反了，应该是确实大于2/3 小于等于1.但是没法证明极限就是2/3

追答

不是“没法证明极限就是2/3”,极限根本就不是2/3, 我手算了n等于2,3,4,5,6的情形，发现它后来减小得越来越慢，到n=6了还有0.8多，看那个趋势似乎是到不了0.666了，所以我才怀疑起那个结果了，后来我去学校设计了一个程序，算了n为几千，甚至几万发现它总是0.7多一点点，n再增大几乎就不变了，，所以我又检查了一下我的计算过程终于找到错误，经过换元算出答案是π/4，换算成小数与计算机算出的结果完全吻合。所以你用切片法算出的结果与正确结果很接近了，我翻了一下我们的教材发现你的算法只是不够精确了一点，用圆柱侧面积逼近，圆会有一部分没法填充，也就是你算出的面积会比实际小一点点。

追问

是吧，我现在还没学积分……

怎么能算出pi来……换元什么的太神秘了

追答

对，数学常常就是这么不可思议，如果深入了解有许多命题足以令人大跌眼镜，例如1+1/2²+1/3²+1/4²+······+1/n²，令n趋于无穷无极限。很明显利用放缩即不等式可以证明它是小于2的，且它是单调递增的，所以极限存在。这个是数学中最美的结论之一，一个自然数的平方自然竟然会与圆的一个基本参数扯上关系(这个参数就是pi)。。这或许也是我如此喜欢数学的原因之一。如果你对这方面的知识感兴趣的话，咋们可以私聊

至于换元，既然用到积分了，就不得不提一下微积分基本定理，根据那个定理我们应该先求被积函数的原函数，而换元是求原函数的基本方法之一

啊，我不知道你积分还没学，那你怎么会接触到用已知的图形的面积或表面积来逼近未知几何体的呢？据我所知，学微积分之前，并没有学过这些。

追问

没学……我只是对数学有兴趣。自己试图用简单的初高中程度能看懂的方法证明一些公式。

在吗？

Answer 2

追问

不对，你仔细想一下

追答

追问

你这个证明的不充分啊

追答

放大

追问

你这个只是证明了它小于n,并不能说明n是它的极限

追答

那就不知道怎么做了

追问

它的极限确实是n.但是怎么求很苦恼

这个问题是我企图用切片发求球的表面积中化减抽象出来的。

追答

这样放大

就得n了

嘿嘿

追问

不行，你这个还不是极限啊，极限证明不能这样吧

追答

你去看一下数学分析吧，总感觉你说的话，让我不明觉厉

数学分析里你应该能找到证明方式

任意伊布塞咯大于0，存在N啥的，要这样证明吗

追问

嗯

追答

好吧，

你去看看数学分析吧，那里面有

good luck

追问

没找到详细的讲解

追答

你是说这道题的原题吗

你是看的数学分析的上册还是下册

追问

我看的不是数学分析，是极限论的一章

追答

哦，这本书我没看过，不知道讲的什么

你读研究生？

追问

学着玩

追答

好吧，我是看着这种证明的就头疼，特别是纯证明的

追问

再想想呗，很有意思

追答

我找到个类似的，你看一下

追问

这个我也有

追答

那你慢慢想吧！加油！