Question

急求一道不等式的解法！！！！！！！！！！！！！！！！！

如图所示

Answer 1

令A=1+1/√2+1/√3+……+1/√N,
则A=1+2/(√2+√2)+2/(√3+√3)+……+2/(√N+√N)
>2/(1+√2)+2/(√2+√3)+2/(√3+√4)+……+2/(√N+√(N+1))
=2*(√2-1+√3-√2+√4-√3+……√(N+1)-√N)
=2*(√(N+1)-1)左边证毕；
又A=1+2/(√2+√2)+2/(√3+√3)+……+2/(√N+√N)
<1+2/(√1+√2)+2/(√2+√3)+……+2/(√(N-1)+√N)
=1+2*(√2-1+√3-√2+√4-√3+……√N-√(N-1))
=1+2*(√N-1)
<2*√N
综上，证毕

Answer 2

考虑通项：
1/√n＝2/(√n＋√n）<2/(√n＋√n-1）＝2/(√n－√n-1）①
1/√n＝2/(√n＋√n）>2/(√n＋1＋√n）＝2/(√n＋1－√n）②
对①式从n＝2，3，……，n代入

对②式从n＝1，2，……，n代入

就可以得到你的结论了。

Answer 3

∑(n从0到n) n^0.5 < ∫(x从0到n) x^0.5 dx = 2 * n^0.5
∑(n从0到n) n^0.5 > ∫(x从1到n+1) x^0.5 dx = 2 * ( (1+n)^0.5 - 1 )

综上
2 * ( (1+n)^0.5 - 1 ) < ∑(n从0到n) n^0.5 < 2 * n^0.5