Question

如图（1），BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连结FG，延长AF、AG

如图（1），BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交。
（1）求证：FG= （AB+BC+AC）
（2）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，如图（2）；BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，如图（3），则在图（2）、图（3）两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由。

Answer 1

延长AF,AG与直线BC相交于M、N，
1.三角形ABM中，BF垂直AM，BF平分角ABM，
三角形ABM等到腰，AB=BM，F是AB中点，
同理，在三角形ACN中AC=CN，G是AN中点，
GF是三角形ANM中位线，
GF=1/2（MN）
=1/2（BM+BC+CN）
=1/2(AB+BC+CA)
2.
FG=1/2（AC+AB-BC）。
当AB边最长，
在三角形ACN中，AC=CN，G是AN中点，
在三角形ABM中，AB=BM，F是AM中点，
MN=CN+CM=AC+（BM-BC）=AC+AB-BC，
当BC＞AB＞AC时，
MN=BM-BN=AB-BN=AB-（BC-AC）=AB+BC-AC，
FG=1/2MN=1/2（AC+AB-BC）。
3.
AB=BM，F是AM中点，
AC=CN，G是AN中点，
FG=1/2MN=1/2（AC+BC-AB）。

Answer 2

思路：（1）都是内角平分线时，可根据等腰三角形三线合一的特点来求解，由于DB平分∠ABC，且AF⊥BD，如果延长AF交BC于K，那么三角形ABK就是个等腰三角形，AF=FK，如果延长AG到H，那么同理可证AG=GH，AC=CH，那么GF就是三角形AHK的中位线，GF就是HK的一半，而HK=BK-BH=BK-（BC-CH），由于BK=AB，CH=AC，那么可得出FG=12（AB+AC-BC）；
（2）证法同（1）先根据题目给出的求法，得出GD是AC的一半，然后按（2）的方法，通过延长AF来得出DF是（BC-AB）的一半，由此可得出FG=12（BC+AC-AB）．

解答：解：（1）猜想结果：如图结论为FG=12（AB+AC-BC）
证明：分别延长AG、AF交BC于H、K，
在△BAF和△BKF中，
∵∠ABD=∠FBKBF=BF∠BFA=∠BFK，
∴△BAF≌△BKF（ASA），
∴AF=KF，AB=KB
同理可证，AG=HG，AC=HC
∴FG=12HK
又∵HK=BK-BH=AB+AC-BC
∴FG=12（AB+AC-BC）
（2）图3的结论为FG=12（BC+AC-AB）．
证明：分别延长AG、AF交BC或延长线于H、K
在△BAF和△BKF中，
∵∠ABD=∠DBKBF=BF∠BFA=∠BFK，
∴△BAF≌△BKF（ASA），
∴AF=KF，AB=KB
同理可证，AG=HG，AC=HC，
∴FG=12KH
又∵KH=BC-BK+HC=BC+AC-AB．
∴FG=12（BC+AC-AB）．

Answer 3

解：（1）猜想结果：如图结论为FG=1 2 （AB+AC-BC）
证明：分别延长AG、AF交BC于H、K
易证△BAF≌△BKF
∴AF=KF，AB=KB
同理可证，AG=HG，AC=HC
∴FG=1 2 HK
又∵HK=BK-BH=AB+AC-BC
∴FG=1 2 （AB+AC-BC）
（2）图3的结论为FG=1 2 （BC+AC-AB）．
证明：分别延长AG、AF交BC或延长线于H、K
易证△BAF≌△BKF，
∴AF=KF AB=KB
同理可证，AG=HG，AC=HC，
∴FG=1 2 KH
又∵KH=BC-BK+HC=BC+AC-AB．
∴FG=1 2 （BC+AC-AB）．