Question

一道有关数列递推的问题

已知a(n+1)=根号((3+a(n))/2)，首项为2，试比较an与3/2的大小关系

Answer 1

数学归纳法
已知：
1.a0=2> 3/2
2.假设an> 3/2
则an+1 = 根号((3+a(n))/2)
> 根号((3+3/2)/2)
= 根号(9/4)
= 3/2
综上，知
对于任意n∈N，有
an>3/2

蹭个分^_^

Answer 2

这应该是一道高等数学考研的题目。
高中老师，如果没有高数的基础，就都靠边站站吧。虽然我也是个80后的刚毕业的高中数学老师，还好前2年考过研，还有些老本。

首先给出高等数学中的 2 个定理：

1数列极限存在准则：如果数列有界且单调，则数列极限一定存在。
2递推函数为减函数时，数列没有唯一的单调性。
递推函数为递增函数时，数列有唯一的单调性。
此时，当a2>a1时，整个数列为增数列。
当a2<a1时，整个数列为减数列。

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解：

（1）先证单调性：
此题中，我们先分析递推式：y=根号（ 3/2 + x/2 ） 这是一个增函数。
所以数列具有唯一的单调性，a2<a1,所以这个数列是单调减数列。

（2）再证有界性：（由于是单调递减，所以我们只需证下界就行了）
显然，an > 0 数列有下界。

由上述两个条件可知，此数列有极限。

于是使用极数的求法：设数列的极限为 a
则a满足：a=根号( (3+a)/2 )， 解得a=3/2 或 a=-1(不合题意，舍去)

所以数列的极限为3/2 ,又有数列是单调递减。
于是可得：an<3/2 【lim an (n趋向无穷大)】 = 3/2

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楼主可以使用计算机，验证一下，a1=2, a2=1.58, a3=1.51 。。。。。。。。
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另外网上看到有一道题，可以供楼主参考一下上面的解答。
应该是陈文灯书中的截图。

http://faq.koolearn.com/posts/list/256611.page