数列极限存在证明题。
数列首项a1=1/2满足递推a(n+1)=根号下a(n),证明此数列有极限。参考定理:1单调有界准则2柯西收敛准则、请问除了上面两个之外,还有什么定理可以证明数列极限的存...
数列首项a1=1/2 满足递推a(n+1)=根号下a(n)
,证明此数列有极限。
参考定理: 1单调有界准则 2柯西收敛准则 、
请问除了上面两个之外,还有什么定理可以证明数列极限的存在性?
1楼,我现在问的问题就是你所说的,我问的就是 a(n)<1 这个怎么证明啊?
2 楼,通项公式我会用,像这样带有根式的递推式,有很多是求不出通项的,如果求不能通项就不能用这样的方法。能否给一个像我说的使用那种定理的证明过程。因为不是每个递推式,你都能解出差分方程求出通项的!!!!!!!
3 数学归纳法我会的。但是这并不是一个通用的方法,很多同类型的题目,是无法用这种方法的!我希望用高等数学原始定理的方法。
4 后面4楼,抓住数学的本质,就是要抓到四海统一的“最初原理”方法。数学的每一题,都存在它的正归性证明方法。(如高中:偶函数在x正半轴是增,证明在x负半轴是减。很多人以为只能用画图像法,这就是没有抓到本质,所有单调性题目的本质就一个:f(x1)>f(x2),有理有据步步为营正式官方地推理出来才是抓到本质,否则你只学会这么一首题,没学到本质。你的话自相矛盾)
你的反证法非常好,可以和数学归纳法一起成为非本质性的解题方法。我喜欢你的证法。但我不喜欢你的华丽的包装语言,类似纸上谈兵或自相矛盾的说教!
6 6楼的,本题从递推式似乎无法判断邻项的比值大小 展开
,证明此数列有极限。
参考定理: 1单调有界准则 2柯西收敛准则 、
请问除了上面两个之外,还有什么定理可以证明数列极限的存在性?
1楼,我现在问的问题就是你所说的,我问的就是 a(n)<1 这个怎么证明啊?
2 楼,通项公式我会用,像这样带有根式的递推式,有很多是求不出通项的,如果求不能通项就不能用这样的方法。能否给一个像我说的使用那种定理的证明过程。因为不是每个递推式,你都能解出差分方程求出通项的!!!!!!!
3 数学归纳法我会的。但是这并不是一个通用的方法,很多同类型的题目,是无法用这种方法的!我希望用高等数学原始定理的方法。
4 后面4楼,抓住数学的本质,就是要抓到四海统一的“最初原理”方法。数学的每一题,都存在它的正归性证明方法。(如高中:偶函数在x正半轴是增,证明在x负半轴是减。很多人以为只能用画图像法,这就是没有抓到本质,所有单调性题目的本质就一个:f(x1)>f(x2),有理有据步步为营正式官方地推理出来才是抓到本质,否则你只学会这么一首题,没学到本质。你的话自相矛盾)
你的反证法非常好,可以和数学归纳法一起成为非本质性的解题方法。我喜欢你的证法。但我不喜欢你的华丽的包装语言,类似纸上谈兵或自相矛盾的说教!
6 6楼的,本题从递推式似乎无法判断邻项的比值大小 展开
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就一破题至于这样吗?!
假设an>=1,由递推公式a(n-1)=an^2>=1得到a1>=1矛盾,所以an<1
an>0是显然的,所以an^2<an
即得an<根号下an=a(n+1)
于是推出数列是有上界(不可达到)的严格单调增加函数,所以极限存在。
证毕。
方法讲究的是灵活运用,有界数集有确界、单调有界极限存在、区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理都是可以互相推到的;如果跟定义相似也可直接用定义。
看实际题目的条件跟那个定理比较接近基本就可以用哪个定理解了。
假设an>=1,由递推公式a(n-1)=an^2>=1得到a1>=1矛盾,所以an<1
an>0是显然的,所以an^2<an
即得an<根号下an=a(n+1)
于是推出数列是有上界(不可达到)的严格单调增加函数,所以极限存在。
证毕。
方法讲究的是灵活运用,有界数集有确界、单调有界极限存在、区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理都是可以互相推到的;如果跟定义相似也可直接用定义。
看实际题目的条件跟那个定理比较接近基本就可以用哪个定理解了。
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不知道楼主喜欢什么方法,证明a(n)<a(n+1)<1的方法很多
例用数学归纳法:
a1=1/2,a2=2分之根号2
a1<a2成立
假设a(k-1)<a(k)成立
当n=k时
a(k+1)=根号下a(k)
a(k)=根号下a(k-1)
可得a(k+1)>a(k)
现在已知数列单调增加
a(n+1)^2=a(n)
则a(n)>a(n)^2
a(n)<1
希望对你有所帮助
例用数学归纳法:
a1=1/2,a2=2分之根号2
a1<a2成立
假设a(k-1)<a(k)成立
当n=k时
a(k+1)=根号下a(k)
a(k)=根号下a(k-1)
可得a(k+1)>a(k)
现在已知数列单调增加
a(n+1)^2=a(n)
则a(n)>a(n)^2
a(n)<1
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a(n+1)= [a(n)]^(1/2)= [a(n-1)]^(1/4)=...= [a1]^(1/2n)
an=(1/2)^(1/2(n-1))
lim(n->∞) (1/2)^(1/2(n-1))
=(1/2)^0
=1
当然还有n多定理,此处用连续函数的定义即可。
an=(1/2)^(1/2(n-1))
lim(n->∞) (1/2)^(1/2(n-1))
=(1/2)^0
=1
当然还有n多定理,此处用连续函数的定义即可。
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不知道楼主喜欢什么方法,证明a(n)
a(k)
现在已知数列单调增加
a(n+1)^2=a(n)
则a(n)>a(n)^2
a(n)<1
希望对你有所帮助
a(k)
现在已知数列单调增加
a(n+1)^2=a(n)
则a(n)>a(n)^2
a(n)<1
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