Question

数学题目一道2

四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD垂直底面ABCD，点E在棱PB上。求证：平面AEC垂直平面PDB；

Answer 1

作 PB 的中点 为 F，AC 和 BD 的交点为 O，连接 FO
因为 PD 垂直 底面ABCD
所以 PD 垂直 DB
所以 三角形PDB 为 直角三角形
又因为 F、O、分别为 PB、AC 的中点
所以 FO 为直角三角形PDB 的中位线
所以 FO 垂直 BD
又因为 四边形ABCD 为正方形
所以 AC 垂直 BD
即 AO 垂直 BD
所以 平面角FOA为 平面ACE 和 平面PDB 的二面角
又因为 FO 平行 PD
所以 FO 垂直 底面ABCD
所以 FO 垂直 AO
所以 平面角FOA 为直角
所以 平面AEC 垂直 平面PDB